Wat is konsonansie?

In die vorige nota het ons uitgevind hoe klank werk. Kom ons herhaal hierdie formule:

KLANK = GRONDTOON + ALLE MEERVOUDIGE OORTONNE

Daarbenewens, terwyl die Japannese die kersiebloeisels bewonder, sal ons ook die frekwensie-responsgrafiek bewonder – die amplitude-frekwensie kenmerk van klank (Fig. 1):

Onthou dat die horisontale as die toonhoogte (ossillasiefrekwensie) verteenwoordig en die vertikale as die hardheid (amplitude) verteenwoordig.

Elke vertikale lyn is 'n harmoniese, die eerste harmoniese word gewoonlik die fundamentele genoem. Harmoniese is soos volg gerangskik: die tweede harmoniese is 2 keer hoër as die grondtoon, die derde is drie, die vierde is vier, ensovoorts.

Ter wille van bondigheid, in plaas van "frekwensie ndie harmoniese" sal ons eenvoudig sê "nde harmoniese", en in plaas van "fundamentele frekwensie" - "klankfrekwensie".

As ons dus na die frekwensierespons kyk, sal dit nie vir ons moeilik wees om die vraag te beantwoord, wat is konsonansie nie.

Hoe om tot oneindig te tel?

Konsonansie beteken letterlik "saamklank", gesamentlike klank. Hoe kan twee verskillende klanke saam klink?

Kom ons teken hulle op dieselfde grafiek onder mekaar (Fig. 2):

Hier is die antwoord: sommige van die harmonieke kan in frekwensie saamval. Dit is logies om te aanvaar dat hoe meer ooreenstemmende frekwensies, hoe meer "algemene" klanke het, en gevolglik hoe meer konsonansie in die klank van so 'n interval. Om heeltemal presies te wees, is dit belangrik nie net die aantal bypassende harmonieke nie, maar watter proporsie van alle klinkende harmonieke ooreenstem, dit wil sê die verhouding van die aantal bypassende tot die totale aantal klinkende harmonieke.

Ons kry die eenvoudigste formule vir die berekening van konsonansie:

waar N_sovp is die aantal ooreenstemmende harmonieke,  N_algemene is die totale aantal klinkende harmonieke (die aantal verskillende klinkende frekwensies), en nadele en is ons gewenste konsonansie. Om wiskundig korrek te wees, is dit beter om die hoeveelheid te noem 'n maatstaf van frekwensiekonsonansie.

Wel, die saak is klein: jy moet bereken N_sovp и N_algemene, verdeel een deur die ander, en kry die gewenste resultaat.

Die enigste probleem is dat beide die totale aantal harmonieke en selfs die aantal ooreenstemmende harmonieke oneindig is.

Wat gebeur as ons oneindigheid deur oneindigheid deel?

Kom ons verander die skaal van die vorige grafiek, "beweeg weg" daarvan (Fig. 3)

Ons sien dat ooreenstemmende harmonieke weer en weer voorkom. Die prentjie word herhaal (Fig. 4).

Hierdie herhaling sal ons help.

Dit is genoeg vir ons om die verhouding (1) in een van die gestippelde reghoeke (byvoorbeeld in die eerste een) te bereken, dan, as gevolg van herhalings en op die hele lyn, sal hierdie verhouding dieselfde bly.

Vir eenvoud sal die frekwensie van die grondtoon van die eerste (onderste) klank gelyk aan eenheid beskou word, en die frekwensie van die grondtoon van die tweede klank sal as 'n onherleibare breuk geskryf word  .

Kom ons let op tussen hakies dat in musiekstelsels, as 'n reël, dit juis klanke is wat gebruik word, waarvan die verhouding van frekwensies deur 'n breuk uitgedruk word  . Byvoorbeeld, die interval van 'n vyfde is die verhouding  , liters –  , triton -   ens.

Kom ons bereken verhouding (1) binne die eerste reghoek (Fig. 4).

Dit is redelik maklik om die aantal ooreenstemmende harmonieke te tel. Formeel is daar twee van hulle, een behoort tot die onderste klank, die tweede - tot die boonste, in Fig. 4 is hulle in rooi gemerk. Maar beide hierdie harmonieke klink onderskeidelik op dieselfde frekwensie, as ons die aantal ooreenstemmende frekwensies tel, dan sal daar net een so frekwensie wees.

Wat is die totale aantal klankfrekwensies?

Kom ons redeneer so.

Alle harmonieke van die onderste klank word in heelgetalle (1, 2, 3, ens.) gerangskik. Sodra enige harmoniek van die boonste klank 'n heelgetal is, sal dit saamval met een van die harmonieke van die onderste. Alle harmonieke van die boonste klank is veelvoude van die grondtoon , dus die frekwensie n-de harmoniese sal gelyk wees aan:

dit wil sê, dit sal 'n heelgetal wees (sedert m is 'n heelgetal). Dit beteken dat die boonste klank in die reghoek harmonieke het vanaf die eerste (fundamentele toon) tot n-o, dus, klank n frekwensies.

Aangesien alle harmonieke van die onderste klank in heelgetalle geleë is, en volgens (3), vind die eerste toeval plaas by die frekwensie m, dit blyk dat die laer klank binne die reghoek sal gee m klinkende frekwensies.

Daar moet kennis geneem word dat die samevallende frekwensie m ons het weer twee keer getel: wanneer ons die frekwensies van die boonste klank getel het en wanneer ons die frekwensies van die onderste klank getel het. Maar in werklikheid is die frekwensie een, en vir die korrekte antwoord sal ons een "ekstra" frekwensie moet aftrek.

Die totaal van alle klinkende frekwensies binne die reghoek sal wees:

Deur (2) en (4) in formule (1) te vervang, kry ons 'n eenvoudige uitdrukking vir die berekening van die konsonansie:

Om die konsonansie van watter klanke ons bereken het te beklemtoon, kan jy hierdie klanke tussen hakies aandui nadele:

Deur so 'n eenvoudige formule te gebruik, kan jy die konsonansie van enige interval bereken.

En laat ons nou 'n paar eienskappe van frekwensiekonsonansie en voorbeelde van die berekening daarvan oorweeg.

Eienskappe en voorbeelde

Kom ons bereken eers die konsonansies vir die eenvoudigste intervalle en maak seker dat formule (6) “werk”.

Watter interval is die eenvoudigste?

Beslis prima. Twee note klink in harmonie. Op 'n grafiek sal dit soos volg lyk:

Ons sien dat absoluut alle klinkende frekwensies saamval. Daarom moet die konsonansie gelyk wees aan:

Kom ons vervang nou die verhouding vir die eenstemmigheid  in formule (6), kry ons:

Die berekening val saam met die "intuïtiewe" antwoord, wat te verwagte is.

Kom ons neem nog 'n voorbeeld waarin die intuïtiewe antwoord net so voor die hand liggend is – die oktaaf.

In 'n oktaaf ​​is die boonste klank onderskeidelik 2 keer hoër as die onderste een (volgens die frekwensie van die grondtoon), op die grafiek sal dit soos volg lyk:

Dit kan uit die grafiek gesien word dat elke tweede harmoniek saamval, en die intuïtiewe antwoord is: die konsonansie is 50%.

Kom ons bereken dit met formule (6):

En weereens is die berekende waarde gelyk aan die "intuïtiewe".

As ons die noot as die onderste klank neem om en stip die konsonansiewaarde vir alle intervalle binne die oktaaf ​​op die grafiek (eenvoudige intervalle), kry ons die volgende prentjie:

Die hoogste mate van konsonansie is in die oktaaf, vyfde en vierde. Hulle het histories verwys na "perfekte" konsonansies. Die mineur en majeur terts, en die mineur en majeur sesdes is effens laer, hierdie intervalle word as "onvolmaakte" konsonansies beskou. Die res van die intervalle het 'n laer mate van konsonansie, tradisioneel behoort hulle tot die groep van dissonansies.

Nou lys ons 'n paar eienskappe van die maatstaf van frekwensiekonsonansie, wat uit die formule vir die berekening daarvan kom:

1. Hoe meer kompleks die verhouding  (hoe meer getal m и n), hoe minder konsonant die interval.

И m и n in formule (6) is in die noemer, dus, soos hierdie getalle toeneem, neem die maatstaf van konsonansie af.

2. Die opwaartse konsonansie van die interval is gelyk aan die afwaartse konsonansie van die interval.

Om 'n af-interval in plaas van 'n op-interval te kry, benodig ons in die verhouding   ruil m и n. Maar in formule (6) sal absoluut niks van so 'n vervanging verander nie.

3. Die maatstaf van die frekwensiekonsonansie van 'n interval hang nie af van watter noot ons dit bou nie.

As jy albei note met dieselfde interval op of af skuif (bou byvoorbeeld 'n kwint nie van 'n noot af nie om, maar uit die nota re), dan die verhouding  tussen note sal nie verander nie, en gevolglik sal die maatstaf van frekwensiekonsonansie dieselfde bly.

Ons kan ander eienskappe van konsonansie gee, maar vir eers sal ons onsself hiertoe beperk.

Fisika en lirieke

Figuur 7 gee ons 'n idee van hoe konsonansie werk. Maar is dit hoe ons werklik die konsonansie van intervalle waarneem? Is daar mense wat nie van perfekte konsonansies hou nie, maar die mees dissonante harmonieë lyk aangenaam?

Ja, sulke mense bestaan ​​beslis. En om dit te verduidelik, moet twee begrippe onderskei word: fisiese konsonansie и waargenome konsonansie.

Alles wat ons in hierdie artikel oorweeg het, het te doen met fisiese konsonansie. Om dit te bereken, moet jy weet hoe die klank werk, en hoe verskillende vibrasies optel. Fisiese konsonansie verskaf die voorvereistes vir waargenome konsonansie, maar bepaal dit nie 100% nie.

Waargenome konsonansie word baie eenvoudig bepaal. 'n Persoon word gevra of hy van hierdie konsonansie hou. Indien wel, dan is dit vir hom konsonansie; so nie, is dit dissonansie. As hy twee intervalle vir vergelyking gegee word, dan kan ons sê dat een van hulle vir die persoon op die oomblik meer konsonant sal lyk, die ander minder.

Kan waargenome konsonansie bereken word? Selfs as ons aanvaar dat dit moontlik is, dan sal hierdie berekening katastrofies ingewikkeld wees, dit sal nog een oneindigheid insluit – die oneindigheid van 'n persoon: sy ervaring, gehooreienskappe en breinvermoëns. Hierdie oneindigheid is nie so maklik om te hanteer nie.

Navorsing op hierdie gebied is egter aan die gang. Veral die komponis Ivan Soshinsky, wat vriendelik oudiomateriaal vir hierdie note verskaf, het 'n program ontwikkel waarmee jy 'n individuele kaart van die persepsie van konsonansies vir elke persoon kan bou. Die webwerf mu-theory.info word tans ontwikkel, waar enigiemand getoets kan word en die kenmerke van hul gehoor kan uitvind.

En tog, as daar 'n waargenome konsonansie is, en dit verskil van die fisiese, wat is die punt daarvan om laasgenoemde te bereken? Ons kan hierdie vraag op 'n meer konstruktiewe manier herformuleer: hoe hou hierdie twee begrippe verband?

Studies toon dat die korrelasie tussen gemiddelde waargenome konsonansie en fisiese konsonansie in die orde van 80% is. Dit beteken dat elke persoon sy eie individuele kenmerke mag hê, maar die fisika van klank lewer 'n oorweldigende bydrae tot die definisie van konsonansie.

Natuurlik is wetenskaplike navorsing op hierdie gebied nog aan die begin. En as 'n klankstruktuur het ons 'n relatief eenvoudige model van veelvuldige harmonieke geneem, en die berekening van konsonansie is die eenvoudigste gebruik – frekwensie, en het nie die eienaardighede van die brein se aktiwiteit in die verwerking van die klanksein in ag geneem nie. Maar die feit dat selfs binne die raamwerk van sulke vereenvoudigings 'n baie hoë mate van korrelasie tussen teorie en eksperiment verkry is, is baie bemoedigend en stimuleer verdere navorsing.

Die toepassing van die wetenskaplike metode op die gebied van musikale harmonie is nie beperk tot die berekening van konsonansie nie, dit lewer ook meer interessante resultate.

Byvoorbeeld, met behulp van die wetenskaplike metode kan musikale harmonie grafies uitgebeeld, gevisualiseer word. Ons sal volgende keer praat oor hoe om dit te doen.

Skrywer – Roman Oleinikof